Supayamakin paham sama materi SPLDV, kita langsung masuk ke contoh soal pertidaksamaan linear dua variabel kelas 10 dan pembahasannya ya. Yuk, siapkan alat tulisnya untuk corat-coret! Contoh 1 Perhatikan bentuk persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini: 5x 2 + 7x + 8 ≥ 6 2x + 4y = 7 5x + 9y ≤ 20 MateriMatematika Kelas 10 Semester 1. Contoh Soal Matriks Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Dan Campuran -Plus Jawabannya. Bilangan Berpangkat SMA Kelas 10-Contoh Soal dan Pembahasan. 30 Soal Matematika Tentang Bilangan Beserta Jawaban: SMP Kelas 7 Semester 1. Contoh Soal dan Pembahasan - Persamaan Eksponen. Padaumumnya contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel dapat diselesaikan dengan beberapa cara. Adapun cara caranya yaitu: Persamaan y = ax + b disubstitusikan ke y = px² + qx + r sehingga persamaan kuadrat dapat terbentuk. Akar akar persamaan kuadrat ditentukan sehingga membentuk x1 dan x2. Berikutini adalah contoh dari sistem persamaan dua variabel: x - y = -4 . Persamaan 1 x 2 - y = -2 . Persamaan 2 Penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan berurutan yang di mana akan memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut. Sistempersamaan linear dua veriabel adalah sistem persamaan yang menandung paling sedikit sepasang (dua buah) persamaan linear dua vartiabel yang hanya mempunya satu penyelesaian.Sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y secara umum ditulis sebagai berikut: ` dengan Jikabanyak motor dinyatakan dengan x dan banyak mobil dinyatakan dengan y, sistem persamaan linier dua variabel dari pernyataan di atas adalah Pembahasan: Motor = x Mobil = y motor dan mobil terdapat 25 buah kendaraan = x + y = 25 Jumlah roda seluruhnya 80 buah = 2x + 4y = 80 Jadi, jawaban yang tepat A. 2. wGUeXF. Pada kesempatan kali ini ID-KU akan memposting artikel tentang "MATERI LENGKAP Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel SPLKDV". Materi ini merupakan lanjutan dari artikel sebelumnya MATERI LENGKAP Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat. 1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel SPLKDV Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real. Langkah-langkah Menyelesaikan SPLKDV a. Subtitusikan y = ax+b ke y = px2 + qx + r sehingga berbentuk persamaan kuadrat b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yakni x1 dan x2 c. Subtitusikan x1 dan x2 ke persamaan bentuk linear untuk mendapatkan y1 dan y2 d. Himpunan penyelesaiannya adalah {x1,y1,x2,y2} Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dan bentuk kuadrat memiliki tiga kemungkinan, yakni Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D -x2 + 5x - 6 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 x - 3x - 2 = 0 x1 = 3 atau x2 = 2 Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 - 3 = 0 Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 - 3 = -1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2,-1,3,0} -> Jawaban A Baca Juga Materi Lengkap Sistem Persamaan Linear 2. Sistem Persamaan Kuadrat SPK Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x dan y secara umum dinyatakan sebagai berikut dengan a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan real Langkah-langkah menyelesaikan SPK Substitusikan persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga diperoleh himpunan penyelesaian {x1,y1,x2,y2} Himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat memiliki 6 kemungkinan, yaitu Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya Jika D 2x2 -8 = 0 x2 - 4 = 0 x - 2x + 2 = 0 x = 2 atau x = -2 Untuk x = 2 y = x2 - 2x - 3 y = 22 -2 2 - 3 y = 4 - 4 - 3 y = -3 Untuk x = -2 y = x2 - 2x - 3 y = -22 -2 -2 - 3 y = 4 + 4 - 3 y = 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2,5,2,-3} -> Jawaban C 4 tahun lalu Real Time2menit NOMOR 1 Jika x=-4 maka nilai y dari persamaan -2x+3y=20 adalah… Jawabana NOMOR 2 Nilai x dan y yang memenuhi persamaan 3x-2y=-4 dan x+2y=-4 adalah… Jawabana NOMOR 3 Sistem persamaan x+y=3 dan 2x+3y=7 memiliki penyelesaian… terhingga dua anggota satu anggota punya anggota benar Jawabanb NOMOR 4 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x+4y=17 dan 2x+y=20 adalah… a.{-6,2} b.{-2,6} c.{-2,9} d.{6,2} e.{9,2} Jawabane NOMOR 5 Jika x dan y memenuhi sistem persamaan linear 3x+2y=15 dan 2x+y=9, maka nilai 4x-y =… b. 9 c. 6 d. 3 e. 0 Jawabanb NOMOR 6 Jika x dan y memenuhi sistem persamaan linear 2x-5y=15 dan 3x+4y=11, maka 2x+3y =… b. -2 c. 5 d. 7 e. 9 Jawaband NOMOR 7 Jika x dan y memenuhi sistem persamaan linear 2x+3y=13 dan 3x+4y=19, maka 2xy=… b. 20 c. 10 d. 5 e. 1 Jawabanc NOMOR 8 Diberikan sistem persamaan x+2/2 – y+1/3 =2 dan 2x+1/2 – y-5/4=4, maka nilai dari 4x-2y adalah… Jawabane NOMOR 9 Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2/x + 3/y=-1/2 dan 1/x – 1/y = -2/3 adalah… a.{-2,-6} b.{2,-6} c.{-2,6} d.{2,6} e.{6,2} Jawabanc NOMOR 10 Diketahui jumlah 2 bilangan sama dengan 28 dan selisih kedua bilangan itu sama dengan 8. Hasil kali kedua bilangan itu adalah… Jawabanb NOMOR 11 Empat tahun yang lalu umur Riza 3 kali umur Ani. Jika 6 tahun mendatang umur Riza 2 kali umur Ani sekarang adalah… tahun tahun tahun tahun tahun Jawaban NOMOR 12 Tiga baju dan satu celana berharga Sedangkan harga satu baju dan dua celana berharga Harga untuk satu baju dan satu celana adalah…. Jawabanb Demikian contoh soal pilihan ganda. Bagi Gengs yang perlu cara pengerjaannya, silahkan Gengs komen di kolom komentar di bawah. Semoga bermanfaat. sheetmath Contoh Soal SPLKDV Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel – Matematika menjadi salah satu mapel yang sulit untuk dikuasai. Cakupan pembahasan dan rumus hitung yang kompleks sering kali mebuat siswa merasa kesulitan ketika mengerjakan soal ujian. Salah satunya adalah materi SPLKDV sebagai bagian dari sistem persamaan matematika. Inilah mengapa kita harus berlatih mengerjakan soal SPLKDV. Materi SPLKDV Masalahnya, tak semua orang familiar ketika diminta menjelaskan apa itu sistem persamaan linear. Pasalnya ada banyak sekali bentuk sistem persamaan dengan rumus hitung yang berbeda-beda. Salah satunya adalah SPLKDV yang notabenya mulai diajarkan pada kita semenjak masuk ke bangku sekolah menengah. Bagaimana cara menyelesaikan contoh soal SPLKDV itu? Karena sering muncul sebagai butir soal ketika ujian baik PAT maupun PAS. Akhirnya guru pun intens memberikan latihan contoh soal SPLKDV kepada kita sebagai bentuk persiapan. Berbagai bentuk serta variasi soal pun bisa kita jumpai di internet dan buku pedoman matematika. Masalahnya apakah kalian tau bagaiana cara menyelesaikan soal Sistem persamaan linear kuadrat dua variabel? Contents 1 Contoh Soal SPLKDV Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel Rumus Cara Menyelesaikan Contoh Soal SPLKDV SPLKDV atau sistem persamaan linear kuadrat dua variabel ialah persamaan yang susunannya berasal dari persamaan kuarat dan persamaan linear serta memiliki dua variabel di dalamnya. Pada umumnya kita dapat membedakan SPLK tersebut menjadi beberapa jenis. Jenis jenis SPLK tersebut dapat meliputi SPLK eksplisit maupun SPLK implisit. Kita dapat menyatakan persamaan dua variabel x dan y dalam bentuk eksplisit jika persamaan ini berbentuk y = fx atau x = fy. Materi sistem persamaan linear kuadrat dua variabel tentunya telah kita pelajari ketika di bangku sekolah. Dalam materi SPLKDV tersebut memuat contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel maupun cara menyelesaikan sistem persamaan linear kuadrat dua variabel ini. Lalu bagaimana bentuk contoh soal SPLKDV itu? Bagaimana cara menyelesaikan SPLKDV? Apa itu SPLKDV? Pada dasarnya, Variabel berguna untuk bidang bisnis, teknik maupun sains, baik dalam jumlah satu atau lebih. Lantas bagaimana contoh soal SPLKDV itu? Apakah anda tahu cara menyelesaikan sistem sistem persamaan linear kuadrat dua variabel? Pada kesempatan kali ini saya akan membagikan contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel SPLKDV. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini. Rumus SPLKDV Seperti yang kita tahu bahwa SPLK atau Sistem Persamaan Linear Kuadrat adalah sekumpulan persamaan linear dan persamaan kuadrat yang memiliki persamaan solusi. Maka dari itulah terbentuk sistem persamaan linear kuadrat dua variabel. Materi terkait SPLKDV ini akan saya jelaskan sedikit sebelum lanjut ke tahap penyelesaian contoh soal SPLKDV yang tersedia. Sistem persamaan linear kuadrat dua variabel tentunya memuat bentuk umum di dalamnya. Bentuk umum SPLKDV tersebut dapat berupa y = ax + b bentuk lineary = px2 + qx + r bentuk kuadrat Keteranganp, q, r, a, b = Bilangan Real Baca juga Materi Sistem Persamaan Linear Kuadrat SPLK Lengkap Cara Menyelesaikan SPLKDV Contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel pada umumnya dapat diselesaikan dengan beberapa metode. Metode yang digunakan ini memiliki beberapa langkah seperti berikut Langkah pertama yaitu melakukan substitusi persamaan y = ax + b menuju persamaan y = px² + qx + r. Dengan begitu kita dapat membentuk persamaan kuadrat. Kemudian kita menentukan akar akar pada persamaan kuadrat agar x1 dan x2 bisa terbentuk. Lalu melakukan substitusi x1 dan x2 menuju bentuk persamaan linear sehingga bisa memperoleh y1 dan y2 Menyusun himpunan penyelesaian yang bentuknya {x1, y1, x2, y2}. Himpunan penyelesaian dalam contoh soal SPLKDV ini memuat beberapa kemungkinan di dalamnya. Kemungkinan dalam penyelesaian SPLKDV ini dapat berupa Perpotongan garis dan parabola dalam himpunan penyelesaian SPLKDV terjadi di dua titik apabila D > 0. Perpotongan garis dan parabola dalam himpunan penyelesaian SPLKDV terjadi di satu titik apabila D = 0. Tidak memiliki perpotonagan garis dan parabola dalam himpunan penyelesaian SPLKDV apabila D < 0. Untuk itu bentuknya berupa { }. Baca juga Cara Mencari Nilai Kelipatan Bilangan dan Contoh Soalnya Contoh Soal SPLKDV Setelah menjelaskan tentang cara menyelesaikan sistem persamaan linear kuadrat dua variabel secara singkat di atas. Selanjutnya saya akan membagikan contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel. Berikut contoh soal dan pembahasannya 1. Diketahui persamaan linear dua variabel dan persamaan kuadrat berbentuk y = 4x + 5 dan y = x² – 12x + 10. Tentukan himpunan penyelesaiannya? soal SPLKDV di atas dapat diselesaikan dengan cara seperti di bawah iniy = 4x + 5 …..persamaan iy = x² – 12x + 10 …..persamaan ii Lakukan substitusi persamaan i ke ii atau sebaliknya dan dilanjutkan dengan operasi aljabar. Maka x² – 12x + 10 = 4x + 5x² – 12x + 10 + 4x + 5 = 0 x² – 8x + 15 = 0 Contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel selanjutnya yaitu melakukan pemfaktoran dari pembentukan persamaan baru di atas. Sehingga x² – 8x + 15 = 0x – 3x – 5 = 0x – 3 = 0 atau x – 5 = 0 x = 3 atau x = 5 Nilai x yang ditemukan tersebut disubstitusikan menuju persamaan i sehingga nilai y1 dan y2 dapat diperolah. Untuk itu hasilnyax = 3 → y = 4x + 5 y = 43 + 5 y = 17 persamaan x, y ialah 3, 17 x = 5 → y = 4x + 5 y = 45 + 5 y = 25 persamaan x, y ialah 5, 25Jadi himpunan penyelesaiannya ialah Hp = {3, 17, 5, 25}. 2. Diketahui persamaan y = x² – 3 dan x – y = 5. Hitunglah himpunan penyelesaian SPLK ini? soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel ini dapat diselesaikan dengan langkah seperti berikutx – y = 5 y = x – 5 Kemudian melakukan substitusi persamaan y = x – 5 ke y = x² – 3. Maka x – 5 = x² – 3x² – 3 – x + 5 = 0 x² – x + 2 = 0 Selanjutnya melakukan pemfaktoran dengan diskriminan seperti berikutx² – x + 2 = 0, dimana a = 1, b = -1 dan c = 2D = b² – 4acD = −1² – 412D = 1 – 8D = −7Jadi himpunan penyelesaian SPLK tersebut berbentuk { } karena D < 1 sehingga dapat dikatakan bahwa tidak memiliki penyelesaian. Sekian contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel SPLKDV yang dapat saya bagikan. Materi SPLKDV ini dapat diselesaikan dengan cara seperti di atas. Semoga artikel ini dapat bermanfaat dan terima kasih telah berkunjung di blog ini. Contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear dan kuadrat materi matematika kelas 10 SMA. Persamaan linier dua variabel x dan y digabungkan dengan persamaan yang mengandung x2 atau y2 SPLK dan SPLDV. Soal No. 1 Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut i y = 2x + 3 ii y = x2 − 4x + 8 Tentukan himpunan penyelesaian Hp dari kedua persamaan tersebut di atas! Pembahasan Substitusikan y dari persamaan i ke y pada persamaan ii, atau sebaliknya dari ii ke i, lanjutkan dengan operasi aljabar. x2 − 4x + 8 = 2x + 3 x2 − 4x + 8 − 2x − 3 = 0 x2 − 6x + 5 = 0 Berikutnya faktorkan x2 − 6x + 5 = 0 x − 1x − 5 = 0 Dapatkan nilai x yang pertama x − 1 = 0 x = 1 Dapatkan nilai x yang kedua x − 5 = 0 x = 5 Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan i Untuk x = 1 maka y = 2x + 3 y = 21 + 3 y = 2 + 3 y = 5 Dari sini didapatkan pasangan x, y yaitu 1, 5 Untuk x = 5 maka y = 2x + 3 y = 25 + 3 y = 10 + 3 y = 13 Dari sini didapatkan pasangan x, y yaitu 5, 13 Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp {1, 5, 5, 13} Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, bisa dibaca lagi. Soal No. 2 Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut i y = 5x + 4 ii y = x2 + 13x − 16 Pembahasan x2 + 13x − 16 = 5x + 4 x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0 x2 + 8x − 20 = 0 x + 10x − 2 = 0 Nilai x yang pertama x + 10 = 0 x = − 10 Nilai x yang kedua x − 2 = 0 x = 2 Nilai-nilai y, dari persamaan pertama Untuk x = − 10 didapat nilai y y = 5x + 4 y = 5−10 + 4 = − 46 Untuk x = 2, didapat nilai y y = 5x + 4 y = 52 + 4 = 14 Hp {− 10, − 46, 2, 14} Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung bentuk implisit yang dapat difaktorkan? Seperti contoh berikutnya. Soal No. 3 Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut i x − y = 5 ii x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas! Pembahasan i x − y = 5 ii x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya, ada beberapa cara untuk memfaktorkan bentuk “kuadrat dalam kuadrat” seperti bentuk di atas, salah satunya sebagai berikut Ingat kembali bentuk ax2 + bc + c = 0 . Jika diterapkan pada persamaan ii maka didapat nilai a, b dan c sebagai berikut x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 a = 1 b = − 6y c = 9y2 − 9 Sehingga x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0 x − 3y − 3x − 3y + 3 = 0 Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu x − 3y − 3 = 0 …..iii x − 3y + 3 = 0 …..iv Dari persamaan ii dan iii x − y = 5 x − 3y = 3 _________ _ 2y = 2 y = 1 x − y = 5 x − 1 = 5 x = 6 Dari persamaan ii dan iv x − y = 5 x − 3y = − 3 ___________ _ 2y = 8 y = 4 x − y = 5 x − 4 = 5 x = 9 Sehingga penyelesaiannya adalah {6, 1, 9, 4} Sebelumnya, mari kita sepakati penggunaan istilah dalam materi ini dulu. Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua disebut sistem persamaan linear-kuadrat SPLK. Berdasarkan karakteristik dari bagian kuadratnya, SPLK dikelompokkan sebagai berikut. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit. SPLK Dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit Bentuk umum SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk eksplisit dapat dituliskan sebagai berikut. $$\begin{cases} y & = ax + b && \text{bagian linear} \\ y & = px^2 + qx + r && \text{bagian kuadrat} \end{cases}$$dengan $a, b, p, q, r$ bilangan real dan $a, p \neq 0.$ Sistem ini dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusikan persamaan linear ke persamaan kuadrat, kemudian disederhanakan dan diselesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat, atau rumus ABC. Secara umum, penyelesaian dari SPLK tersebut dapat ditentukan dengan melalui langkah-langkah berikut. Langkah 1 Substitusikan bagian linear $y = ax+b$ ke bagian kuadrat $y = px^2+qx+r$, diperoleh $$\begin{aligned} ax + b & = px^2+qx+r \\ px^2+qx-ax+r-b & = 0 \\ px^2+q-ax+r-b & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat satu variabel, yaitu $x$. Selesaikan persamaan kuadrat tersebut untuk mencari nilai $x$. Langkah 2 Nilai-nilai $x$ yang didapat pada Langkah 1 tadi jika ada disubstitusikan ke persamaan $y = ax+b$ agar perhitungannya lebih mudah, untuk memperoleh nilai $y$. Kita ingat bahwa nilai $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $px^2 + q-ax + r-b = 0$ disebut akar-akar dari persamaan kuadrat itu. Banyak nilai $x$ banyak akar dari persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh nilai diskriminan $D = q-a^2-4pr-b$. Dengan demikian, banyak anggota dalam himpunan penyelesaian SPLK $$\begin{cases} y = ax+b \\ y = px^2+qx + r \end{cases}$$ditentukan oleh nilai diskriminan $D$ dengan aturan berikut. Jika $D > 0$, maka SPLK tersebut mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Jika $D = 0$, maka SPLK tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Jika $D 0$, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan. Jika $D = 0$, maka garis memotong parabola tepat di satu titik. Dengan kata lain, garis itu menyinggung parabola. Jika $D < 0$, maka garis dan parabola tidak berpotongan. Perhatikan gambar kedudukan garis $y = ax+b$ dan parabola $y = px^2+qx+r$ berikut agar lebih jelas. SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit Persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y = fx$ atau $x = fy.$ Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $fx, y = 0.$ Contoh persamaan dua variabel dalam bentuk implisit adalah sebagai berikut. a. $x^2+y^2+8 = 0$ b. $x^2+2y^2-3x+y = 0$ c. $x^2-y^2-3x+4y+9 = 0$ d. $2x^2+xy+y^2+3y-4 = 0$ Secara umum, SPLK dengan bagian kuadratnya berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut. $$\begin{cases} px+qy + r = 0 & \text{bagian linear} \\ ax^2+by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 & \text{bagian kuadrat berbentuk implisit} \end{cases}$$dengan $a, b, c, d, e, f, p, q, r$ semuanya merupakan bilangan real dan $p, q, a, b \neq 0.$ SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dibagi menjadi dua, yaitu bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dan bentuk implisit yang dapat difaktorkan. Baca Juga Soal dan Pembahasan – SPLDV Berikut ini disajikan beberapa soal mengenai sistem persamaan linear dan kuadrat, disertai dengan pembahasannya. Semoga bermanfaat. Today Quote Students don’t need a perfect teacher. They need a happy teacher, who’s gonna make them excited to come to school and grow a love for learning. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Penyelesaian dari sistem persamaan $$\begin{cases} y & = 3x-5 && \cdots 1 \\ y & = x^2-5x+7 && \cdots 2 \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, 1$ dan $6, 13$ B. $-2, -1$ dan $6, -13$ C. $2, -1$ dan $-6, 13$ D. $2, 1$ dan $6, 13$ E. $2, 1$ dan $-6, -13$ Pembahasan Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut. $$\begin{aligned} y & = y \\ x^2-5x+7 & = 3x-5 \\ x^2-8x+12 & = 0 \\ x-6x-2 & = 0 \\ x = 6~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Substitusi nilai $x$ ke persamaan $1$, yaitu $y = 3\color{red}{x}-5$. $$\begin{aligned} x = \color{blue}{6} & \Rightarrow y = 36-5 = \color{blue}{13} \\ x = \color{green}{2} & \Rightarrow y = 32-5 = \color{green}{1} \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $6, 13$ dan $2, 1$. Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius Soal Nomor 2 Himpunan penyelesaian dari SPLK $\begin{cases} x+y = 0 \\ x^2+y^2+8 = 0 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\{2, -2, -2, 2\}$ B. $\{-2, -2, 2, 2\}$ C. $\{4, -4, -4, 4\}$ D. $\{2, -4, -4, 4\}$ E. $\{2, 2, 4, 4\}$ Pembahasan Diketahui SPLK $$\begin{cases} x+y = 0 & \cdots 1 \\ x^2+y^2-8 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = -x$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-8 & = 0 \\ x^2+-x^2-8 & = 0 \\ x^2+x^2 & = 8 \\ 2x^2 & = 8 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{aligned}$$Jika $x = 2$, maka diperoleh $y = -2$. Jika $x = -2$, maka diperoleh $y = 2$. Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{2, -2, -2, 2\}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Misalkan penyelesaian SPLK $\begin{cases} x-y+1 = 0 \\ x^2+y^2-13 = 0 \end{cases}$ adalah $a, b$ dan $c, d$. Nilai $a+b+c+d = \cdots \cdot$ A. $-3$ C. $0$ E. $12$ B. $-2$ D. $3$ Pembahasan Diketahui SPLK $$\begin{cases} x-y+1 = 0 & \cdots 1 \\ x^2+y^2-13 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = x+1$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-13 & = 0 \\ x^2+x+1^2-13 & = 0 \\ x^2+x^2+2x+1-13 & = 0 \\ 2x^2+2x-12 & = 0 \\ x^2+x-6 & = 0 \\ x+3x-2 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jika $x = -3$, maka diperoleh $y = -2$. Jika $x = 2$, maka diperoleh $y = 3$. Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $-3, -2$ dan $2, 3$ sehingga nilai $$\boxed{a+b+c+d = -3+-2+2+3 = 0}$$Catatan Karena yang ditanyakan adalah jumlah dari $a, b, c, d$, maka masing-masing nilainya tidak perlu dipermasalahkan bila ditukar-tukar, sebab hasil penjumlahannya pasti sama. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Titik koordinat yang termasuk penyelesaian dari sistem persamaan $\begin{cases} y & = 2x+5 \\ y & = x^2-3 \end{cases}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4, 13$ D. $2, -1$ B. $-2, 1$ E. $4, 11$ C. $0, -4$ Pembahasan Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut. $$\begin{aligned} y & = y \\ x^2-3 & = 2x+5 \\ x^2-2x-8 & = 0 \\ x-4x+2 & = 0 \\ x = 4~\text{atau}~x & = -2 \end{aligned}$$Substitusi masing-masing dua nilai $x$ tersebut ke persamaan $y = 2x+5$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x = 4 & \Rightarrow y = 24 + 5 = 13 \\ x = -2 & \Rightarrow y = 2-2 + 5 = 1 \end{aligned}$$Jadi, titik potongnya adalah $4, 13$ dan $-2, 1$. Titik potong adalah titik koordinat yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 5 Penyelesaian dari sistem persamaan $$\begin{cases} x-y = 2 & \cdots 1 \\ x^2+16y^2-24xy-16 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$ A. $6, 4$ dan $\left\dfrac{12}{7}, -\dfrac{2}{7}\right$ B. $6, 4$ dan $\left\dfrac{2}{7}, -\dfrac{12}{7}\right$ C. $-4, -6$ dan $\left\dfrac{2}{7}, -\dfrac{12}{7}\right$ D. $-4, -6$ dan $\left\dfrac{12}{7}, -\dfrac{2}{7}\right$ E. $-4, -6$ dan $6, 4$ Pembahasan Ubah persamaan $1$ menjadi $$x = 2 + y~~~~\cdots 3$$Substitusi persamaan $3$ pada persamaan $2$. Kita peroleh $$\begin{aligned} \color{blue}{x}^2+16y^2-24\color{blue}{x}y-16 = 0 \\ 2+y^2+16y^2-242+yy-16 & = 0 \\ y^2+4y+4+16y^2-48y-24y^2-16 & = 0 \\ -7y^2-44y-12 & = 0 \\ 7y^2+44y+12 & = 0 \\ 7y+2y+6 & = 0 \\ y = -\dfrac27~\text{atau}~y & = -6 \end{aligned}$$Substitusi nilai $y$ ke persamaan $1$, yaitu $x = 2+\color{red}{y}$. $$\begin{aligned} y = \color{blue}{-\dfrac27} & \Rightarrow x = 2+\color{blue}{-\dfrac27} = \dfrac{12}{7} \\ y = \color{green}{-6} & \Rightarrow x = 2+\color{red}-6 = -4 \end{aligned}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $-4, -6$ dan $\left\dfrac{12}{7}, -\dfrac27\right$. Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – SPLTV Soal Nomor 6 Himpunan penyelesaian SPLK $$\begin{cases} 2x+3y = 8 \\ 4x^2-12xy+9y^2 = 16 \end{cases}$$adalah $\cdots \cdot$ A. $\left\{1, 2, \left3, \dfrac23\right\right\}$ B. $\left\{2, 1, \left3, \dfrac23\right\right\}$ C. $\left\{1, 2, \left\dfrac23, 3\right\right\}$ D. $\left\{2, 1, \left\dfrac23, 3\right\right\}$ E. $\emptyset$ Pembahasan Diketahui SPLK $$\begin{cases} 2x+3y = 8 & \cdots 1 \\ 4x^2-12xy+9y^2 = 16 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $2$ merupakan bagian kuadrat yang dapat difaktorkan sebagai berikut. $$\begin{aligned} 4x^2-12xy+9y^2 & = 16 \\ 2x-3y^2 & = 16 \\ 2x-3y^2-4^2 & = 0 \\ 2x-3y+42x-3y-4 & = 0 \\ 2x-3y+4 = 0~\text{atau}~2x-3y&-4 = 0 \end{aligned}$$Dengan demikian, SPLK tersebut dapat dipecah menjadi dua SPLDV berikut. SPLDV pertama $$\begin{cases} 2x+3y & = 8 \\ 2x-3y + 4 & = 0 \end{cases}$$dengan penyelesaian $1, 2$. SPLDV kedua $$\begin{cases} 2x+3y & = 8 \\ 2x-3y-4 & = 0 \end{cases}$$dengan penyelesaian $\left3, \dfrac23\right$. Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $\boxed{\left\{1, 2, \left3, \dfrac23\right\right\}}$ Jawaban A [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut. a. $\begin{cases} y & = 6-5x \\ y & = x^2 \end{cases}$ b. $\begin{cases} y & = x+3 \\ y & = x^2-5x+8 \end{cases}$ c. $\begin{cases} y & = 3x-8 \\ y & = x^2-3x \end{cases}$ d. $\begin{cases} y & = x+1 \\ y & = x^2+x \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} y & = 6-5x && \cdots 1 \\ y & = x^2 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2 & = 6-5x \\ x^2+5x-6 & = 0 \\ x+6x-1 & = 0 \\ x = -6~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x^2$. $$\begin{aligned} x = -6 & \Rightarrow y = -6^2 = 36 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1^2 = 1 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{-6, 36, 1, 1\}}$ Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} y & = x+3 && \cdots 1 \\ y & = x^2-5x+8 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2-5x+8 & = x+3 \\ x^2-6x+5 & = 0 \\ x-5x-1 & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+3$. $$\begin{aligned} x = 5 & \Rightarrow y = 5+3 = 8 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+3 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{5, 8, 1, 4\}}$ Jawaban c Diketahui $$\begin{cases} y & = 3x-8 && \cdots 1 \\ y & = x^2-3x && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2-3x & = 3x-8 \\ x^2-6x+8 & = 0 \\ x-2x-4 & = 0 \\ x = 2~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = 3x-8$. $$\begin{aligned} x = 2 & \Rightarrow y = 32-8 = -2 \\ x = 4 & \Rightarrow y = 34-8 = 4 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{2, -2, 4, 4\}}$ Jawaban d Diketahui $$\begin{cases} y & = x+1 && \cdots 1 \\ y & = x^2+x && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2+x & = x+1 \\ x^2-1 & = 0 \\ x+1x-1 & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, kita akan dapatkan nilai $y$ jika masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada salah satu persamaan, misalnya $y = x+1$. $$\begin{aligned} x = -1 & \Rightarrow y = -1+1 = 0 \\ x = 1 & \Rightarrow y = 1+1 = 2 \end{aligned}$$Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{-1, 0, 1, 2\}}$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Soal Cerita Aplikasi SPLTV Soal Nomor 2 Diketahui SPLK 2 $$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 \\ y & = x^2-4x \end{cases}$$ Tunjukkan bahwa sistem persamaan linear dan kuadrat itu tepat memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Carilah himpunan penyelesaiannya itu. Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} 2x+y+1 & = 0 && \cdots 1 \\ y & = x^2-4x && \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat diubah menjadi $y = -2x-1$. Substitusikan persamaan ini ke persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} -2x-1 & = x^2-4x \\ 0 & = x^2-2x+1 \end{aligned}$$Sistem tersebut memiliki tepat satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki diskriminan yang nilainya $0$. $$\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ & = -2^2-411 \\ & = 4-4 = 0 \end{aligned}$$Terbukti Jawaban b Sebelumnya, kita peroleh persamaan kuadrat $x^2-2x+1 = 0$, yang dapat difaktorkan menjadi $x-1^2 = 0$ sehingga penyelesaiannya adalah $x=1$. Substitusi $x=1$ pada persamaan linearnya sehingga didapat $$y = -2\color{red}{x}-1 = -21-1 = -3 $$Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $\boxed{\{1, -3\}}$ [collapse] Soal Nomor 3 Carilah nilai $a$ agar tiap SPLK berikut ini tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. a. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = x^2-3x \end{cases}$ b. $\begin{cases} y & = ax+1 \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 \end{cases}$ c. $\begin{cases} y & = x+a \\ y & = \dfrac12x^2-2 \end{cases}$ d. $\begin{cases} y & = ax+2 \\ y & = ax^2+x+1 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} y & = x+a && \cdots 1 \\ y & = x^2-3x && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2-3x & = x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-4}_{b}x+\underbrace{-a}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$. $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ -4^2-41-a & = 0 \\ 16+4a & = 0 \\ 4a & = -16 \\ a & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-4}$ Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} y & = ax+1 && \cdots 1 \\ y & = \dfrac12x^2+x+1 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac12x^2+x+1 & = ax+1 \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{1-a}_{b}x+\underbrace{0}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$. $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ 1-a^2-4\left\dfrac12\right0 & = 0 \\ 1-a^2 & = 0 \\ 1-a & = 0 \\ a & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=1}$ Jawaban c Diketahui $$\begin{cases} y & = x+a && \cdots 1 \\ y & = \dfrac12x^2-2 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} \dfrac12x^2-2 & = x+a \\ \underbrace{\dfrac12}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-1}_{b}x+\underbrace{-2-a}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$. $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ -1^2-4\left\dfrac12\right-2-a & = 0 \\ 1+4+2a & = 0 \\ 2a & = -5 \\ a & = -\dfrac52 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-\dfrac52}$ Jawaban d Diketahui $$\begin{cases} y & = ax+2 && \cdots 1 \\ y & = ax^2+x+1 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} ax^2+x+1 & = ax+2 \\ \underbrace{a}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{1-a}_{b}x+\underbrace{-1}_{c} & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila nilai diskriminan $D$ persamaan kuadrat di atas bernilai $0$. $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & = 0 \\ 1-a^2-4a-1 & = 0 \\ 1-2a+a^2+4a & = 0 \\ a^2+2a+1 & = 0 \\ a+1^2 & = 0 \\ a & = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a=-1}$ [collapse] Soal Nomor 4 Carilah batas-batas nilai $a$ agar setiap SPLK berikut ini sekurang-kurangnya memiliki satu anggota himpunan penyelesaian. a. $\begin{cases} y & = 2x+a \\ y & = x^2-4x+5 \end{cases}$ b. $\begin{cases} 3x+y & = -1 \\ y^2-2ax & = 0 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} y & = 2x+a && \cdots 1 \\ y & = x^2-4x+5 && \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{cases} x^2-4x+5 & = 2x+a \\ \underbrace{1}_{\color{red}{a}}x^2\underbrace{-6}_{b}x+\underbrace{5-a}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$. Dengan demikian, kita tuliskan $$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ -6^2-415-a & \geq 0 \\ 36-20+4a & \geq 0 \\ 16+4a & \geq 0 \\ 4a & \geq -16 \\ a & \geq -4 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \geq -4}$ Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} 3x+y & = -1 && \cdots 1 \\ y^2-2ax & = 0 && \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = -1-3x$. Substitusikan persamaan ini pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{cases} -1-3x^2-2ax & = 0 \\ 1+6x+9x^2-2ax & = 0 \\ \underbrace{9}_{\color{red}{a}}x^2+\underbrace{6-2a}_{b}x+\underbrace{1}_{c} & = 0 \end{cases}$$SPLK tersebut akan memiliki setidaknya satu penyelesaian jika persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan $D \geq 0$. Dengan demikian, kita tuliskan $$\begin{aligned} D & \geq 0 \\ b^2-4\color{red}{a}c & \geq 0 \\ 6-2a^2-491 & \geq 0 \\ 43-a^2-49 & \geq 0 \\ 3-a^2-9 & \geq 0 && \text{bagi}~4 \\ 3-a^2 & \geq 9 \\ 3-a \leq -3~\text{atau}~& 3-a \geq 3 \\ -a \leq -6~\text{atau}~& -a \geq 0 \\ a \geq 6~\text{atau}~& a \leq 0 \end{aligned}$$Jadi, batas nilai $a$ agar SPLK ini memiliki sekurang-kurangnya satu anggota himpunan penyelesaian adalah $\boxed{a \leq 0~\text{atau}~a \geq 6}$ [collapse] Soal Nomor 5 Carilah nilai $m$ agar tiap SPLK berikut tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya. a. $\begin{cases} y = x+m \\ x^2+4y^2-4 = 0 \end{cases}$ b. $\begin{cases} y = mx \\ x^2+y^2-8x-4y+16 = 0 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} y = x+m & \cdots 1 \\ x^2 + 4y^2-4 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2+4x+m^2-4 & = 0 \\ x^2+4x^2+2mx+m^2-4 & = 0 \\ 5x^2+8mx+4m^2-4 & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ 8m^2-454m^2-4 & = 0 \\ 64m^2-80m^2+80 & = 0 \\ -16m^2 + 80 & = 0 \\ -m^2 + 5 & = 0 && \text{bagi}~16 \\ m^2 & = 5 \\ m & = \pm \sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = \sqrt5$ atau $m = -\sqrt5$. Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} y = mx & \cdots 1 \\ x^2 +y^2-8x-4y+16 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Substitusikan persamaan $1$ pada persamaan $2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} x^2+mx^2-8x-4mx+16 & = 0 \\ 1+m^2x^2+-8-4mx+16 & = 0 \end{aligned}$$SPLK tersebut akan memiliki tepat satu penyelesaian apabila persamaan kuadrat di atas memiliki nilai diskriminan sama dengan $0$. Kita peroleh $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ -8-4m^2-41+m^216 & = 0 \\ 162+m^2-41+m^216 & = 0 \\ 2+m^2-41+m^2 & = 0 && \text{bagi}~16 \\ 4+4m+m^2-4-4m^2 & = 0 \\ -3m^2+4m & = 0 \\ m-3m + 4 & = 0 \\ m = 0~\text{atau}~m & = \dfrac43 \end{aligned}$$Jadi, nilai $m$ yang memuat SPLK tersebut memiliki tepat satu penyelesaian adalah $m = 0$ atau $m = \dfrac43$. [collapse] Soal Nomor 6 Misalkan $p, q$ adalah bilangan real yang bukan nol. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini dengan menyatakannya dalam $p$ dan $q$. a. $\begin{cases} px + qy = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 \end{cases}$ b. $\begin{cases} x+y = p+q \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $$\begin{cases} px + qy = 0 & \cdots 1 \\ p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis kembali menjadi $y = -\dfrac{px}{q}$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} p^2x^2 + pqx + q^2\color{red}{y}^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + q^2\left-\dfrac{px}{q}\right^2 & = 0 \\ p^2x^2 + pqx + \cancel{q^2} \cdot \dfrac{p^2x^2}{\cancel{q^2}} & = 0 \\ 2p^2x^2 + pqx & = 0 \\ px2px + q & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir menunjukkan bahwa kita telah memperoleh $$\begin{aligned} px = 0 & \Rightarrow x = 0 \\ 2px + q = 0 & \Rightarrow x = -\dfrac{q}{2p} \end{aligned}$$Masing-masing nilai $x$ ini disubstitusi pada persamaan $y = -\dfrac{px}{q}$. Kita akan memperoleh $$\begin{aligned} x = 0 & \Rightarrow y = -\dfrac{p0}{q} = 0 \\ x = -\dfrac{q}{2p} & \Rightarrow y = -\dfrac{p}{q} \cdot \left-\dfrac{q}{2p}\right = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\left\{0, 0, \left-\dfrac{q}{2p}, \dfrac12\right\right\}}$$Jawaban b Diketahui $$\begin{cases} x+y = p+q & \cdots 1 \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Kedua ruas pada persamaan $1$ dikuadratkan, dan kita akan peroleh $$\begin{aligned} x+y^2 & = p+q^2 \\ x^2+2xy+y^2 & = p^2+2pq+q^2 \\ x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 && \cdots 3 \end{aligned}$$Sekarang, persamaan $3$ dikurangi persamaan $2$. $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x^2+y^2+2xy-p^2-q^2-2pq & = 0 \\ x^2+y^2+xy-p^2-q^2-pq & = 0 \end{aligned} \\ \rule{7 cm}{ – \\ \! \begin{aligned} xy-pq & = 0 \\ xy & = pq \end{aligned} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita dapat tuliskan $$\begin{cases} x+y & = p+q && \cdots 1 \\ xy & = pq && \cdots 2 \end{cases}$$Dengan demikian, didapat dua penyelesaian, yaitu $x, y = p, q$ atau $x, y = q, p$. Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah $$\boxed{\{p, q, q, p\}}$$ [collapse] Soal Nomor 7 Tentukan himpunan penyelesaian SPLK berikut. a. $\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2+y^2-25 = 0 \end{cases}$ b. $\begin{cases} 2x-y-3 = 0 \\ x^2-y^2 = 0 \end{cases}$ c. $\begin{cases} 3x-y-16 = 0 \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 \end{cases}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui SPLK $$\begin{cases} y = x + 1 & \cdots 1 \\ x^2+y^2-25 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ disubstitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-25 & = 0 \\ x^2+x+1^2-25 & = 0 \\ x^2+x^2+2x+1-25 & = 0 \\ 2x^2 +2x-24 & = 0 \\ x^2+x-12 & = 0 \\ x+4x-3 & = 0 \\ x = -4~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = -4$, maka diperoleh $y = -3$. Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 4$. Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{-4, -3, 3, 4\}}$ Jawaban b Diketahui SPLK $$\begin{cases} 2x-y-3 = 0 & \cdots 1 \\ x^2-y^2 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = 2x-3$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2-\color{red}{y}^2 & = 0 \\ x+\color{red}{y}x-\color{red}{y} & = 0 \\ x+2x-3x-2x-3 & = 0 \\ 3x-3-x+3 & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jika $x = 1$, maka diperoleh $y = -1$. Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = 3$. Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{1, -1, 3, 3\}}$ Jawaban c Diketahui SPLK $$\begin{cases} 3x-y-16 = 0 & \cdots 1 \\ x^2+y^2-6x+4y-12 = 0 & \cdots 2 \end{cases}$$Persamaan $1$ dapat ditulis menjadi $y = 3x-16$. Substitusikan pada persamaan $2$. $$\begin{aligned} x^2+\color{red}{y}^2-6x+4\color{red}{y}-12 & = 0 \\ x^2 + 3x-16^2-6x + 43x-16-12 & = 0 \\ x^2 + 9x^2-96x+256-6x + 12x-64-12 & = 0 \\ 10x^2-90x+180 & = 0 \\ x^2-9x+18 & = 0 && \text{bagi}~10 \\ x-3x-6 & = 0 \end{aligned}$$Jika $x = 3$, maka diperoleh $y = -7$. Jika $x = 6$, maka diperoleh $y = 2$. Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\boxed{\{3, -7, 6, 2\}}$ [collapse]

soal dan pembahasan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel